4.5   Serie de Taylor.

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = x_i+1 - x_i  expresando la serie de Taylor como:

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.

Utilizar los términos de la serie de Taylor con n= 0 hasta 6 para aproximar la función f(x) = cos(x) en x_i+1 = p/3 y sus derivadas en x_i = p/4. Esto significa que h = p/3- p/4 =p/12, los valores de las derivadas y el error de aproximación se presenta en la siguiente tabla.

Orden n	fn(x)	fn(p/4)	error (%)
0	cos(x)	0.707106781	-41.4
1	-sen(x)	0.521986659	-4.4
2	-cos(x)	0.497754491	0.449
3	sen(x)	0.499869147	2.62x10-2
4	cos(x)	0.500007551	-1.51x10-3
5	-sen(x)	0.500000304	-6.08x10-5
6	-cos(x)	0.499999988	2.40x10-6

Note, que a medida que se introducen más términos, la aproximación se vuelve más exacta y el porcentaje de error disminuye. En general podemos tener una aproximación polinomial de la función coseno, con sus derivadas en cero dada por

Orden n	fn(x)	fn(0)
0	cos(x)	1
1	-sen(x)	0
2	-cos(x)	-1
3	sen(x)	0
4	cos(x)	1
5	-sen(x)	0
6	-cos(x)	-1
7	sen(x)	0
8	cos(x)	1
9	-sen(x)	0
10	-cos(x)	-1

La aproximación polinomial final queda: